Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足條件f（x+）=-f（x），且函數(shù)y=f（x-）是奇函數(shù)，給出以下四個命題：
①函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-，0）對稱；
③函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
④函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)．
在上述四個命題中，正確命題的序號是________（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

①②③
分析：題目中條件：f（x+）=-f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函數(shù)圖象的對稱性，及函數(shù)圖象的平移變換，可得函數(shù)的對稱中心，結(jié)合這些條件可探討函數(shù)的奇偶性，及單調(diào)性．
解答：對于①：∵f（x+3）=-f（x+）=f（x）∴函數(shù)f（x）是周期函數(shù)且其周期為3．①對
對于②：∵y=f（x-）是奇函數(shù)∴其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
又∵函數(shù)f（x）的圖象是由y=f（x-）向左平移個單位長度得到．
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-，0）對稱，故②對．
對于③：由②知，對于任意的x∈R，都有f（--x）=-f（x），用換x，可得：f（--x）+f（x）=0
∴f（--x）=-f（x）=f（x+）對于任意的x∈R都成立．
令t=+x，則f（-t）=f（t），∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，③對．
對于④：∵偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，∴f（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)，④不對．
故答案為：①②③．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性等，抽象函數(shù)是相對于給出具體解析式的函數(shù)來說的，它雖然沒有具體的表達(dá)式，但是有一定的對應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．是中檔題．