（1）已知a，b，c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2+b2+c2＞ab+bc+ca；
（2）設(shè)a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=1，求證(
1
a
-1)(
1
b
-1)(
1
c
-1)≥8．
分析：（1）利用分析法，從結(jié)果入手，再利用配方法，即可證得結(jié)論；
（2）利用“1”的代換，再利用基本不等式，即可得到結(jié)論．
解答：證明：（1）要證a2+b2+c2＞ab+bc+ca，只需證2（a2+b2+c2）＞2（ab+bc+ca）
即證（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2＞0，
因為a，b，c是不全相等的實數(shù)，所以（a+b）2＞0，（b+c）2＞0，（a+c）2＞0，
所以（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2＞0顯然成立．
所以a2+b2+c2＞ab+bc+ca；
（2）∵a、b、c∈（0，+∞）且a+b+c=1，
∴(
1
a
-1)(
1
b
-1)(
1
c
-1)=
b+c
a
•
a+c
b
•
a+b
c
≥
2
bc
a
•
2
ac
b
•
2
ab
c
=8
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=
1
3
時等號成立．
點評：本題考查不等式的證明，考查分析法、綜合法的運(yùn)用，考查基本不等式，正確運(yùn)用分析法是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知a，b，c為實數(shù)，證明a，b，c均為正數(shù)的充要條件是
a+b+c＞0
ab+bc+ca＞0
abc＞0
；
（2）已知方程x3+px2+qx+r=0的三根α，β，γ都是實數(shù)，證明α，β，γ是一個三角形的三邊的充要條件是
p＜0，q＞0，r＜0
p3＞4pq-8r
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求證：
b2-ac
a
＜
3
；
（2）若不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
＞
a
24
對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明此時的不等式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知a，b，c∈R，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥
1
3
；
（2）a，b，c為互不相等的正數(shù)，且abc=1，求證：
1
a
+
1
b
+
1
c
＞
a
+
b
+
c
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知a，b，c均為實數(shù)，求證：a2+b2+c2≥
1
3
(a+b+c)2．
（2）若a，b，c均為實數(shù)，且a=x2-2y+
1
3
，b=y2-2z+3，c=z2-2x+
1
6
．求證：a，b，c中至少有一個大于0．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案