Question

4．已知雙曲線C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$一焦點與拋物線y²=8x的焦點F相同，若拋物線y²=8x的焦點到雙曲線C₁的漸近線的距離為1，P為雙曲線左支上一動點，Q（1，3），則|PF|+|PQ|的最小值為（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 2$\sqrt{3}+3\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先求出雙曲線的方程，再利用|PF|+|PQ|=2$\sqrt{3}$+|PF′|+|PQ|≥2$\sqrt{3}$+|F′Q|，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，拋物線的焦點坐標(biāo)為（2，0），雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為（2，0），一條漸近線方程為bx+ay=0，
∵拋物線y²=8x的焦點到雙曲線C₁的漸近線的距離為1，
∴$\frac{2b}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=1，
∵a²+b²=4，
∴a=$\sqrt{3}$，b=1，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}$=1，
設(shè)雙曲線的左焦點為F′，則|PF|=2$\sqrt{3}$+|PF′|，
∴|PF|+|PQ|=2$\sqrt{3}$+|PF′|+|PQ|≥2$\sqrt{3}$+|F′Q|=2$\sqrt{3}$+3$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)Q，P，F(xiàn)′共線時，取等號，即|PF|+|PQ|的最小值為2$\sqrt{3}$+3$\sqrt{2}$，
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，利用雙曲線的定義將|PF|轉(zhuǎn)化為2$\sqrt{3}$+|PF′|是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與應(yīng)用不等式的能力，屬于中檔題．