Question

把邊長為4的正方形鐵片的四個角各截去一個邊長為x的小正方形，再將四邊沿邊線向上折起，做成一個無蓋的方底鐵盒．
（1）把鐵盒容積V表示為x的函數V（x），并指出其定義域；
（2）確定V（x）的單調區(qū)間；
（3）若要求鐵盒的高度x與底面正方形邊長的比值不超過常數a，問x取何值時，鐵盒容積有最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出鐵盒的底面邊長，從而求出底面面積，容積為底面積乘以高即可求得函數V（x），使得邊長大于0可求出定義域；
（2）先求V′（x），然后令V′（x）=0，求出極值點，根據導數符號可確定函數的單調區(qū)間；
（3）根據鐵盒的高度x與底面正方形邊長的比值不超過常數a，求出函數的定義域，然后利用導數研究函數的單調性從而求出函數的最值．

解答：解：（1）鐵盒的底面邊長為4-2x，高為x，則V（x）=x（4-2x）²，
由

x＞0 4-2x＞0

得函數定義域是{x|0＜x＜2}．
（2）V（x）=4（x³-4x²+4x），
V′（x）=4（3x²-8x+4）=4（3x-2）（x-2），
令V′（x）=0得x=

2

3

或x=2（舍去）
當0＜x＜

2

3

時，V′（x）＞0；
當

2

3

＜x＜2時，V′（x）＜0．
故V'（x）在區(qū)間(0，

2

3

]上是增函數，在區(qū)間[

2

3

，2)上是減函數； 
（3）由題意，

x

4-2x

≤a，且a＞0解得V（x）的定義域是{x|0＜x≤

4a

1+2a

}，其中a＞0，

4a

1+2a

＜

4a

2a

=2，
由（2）知當

4a

1+2a

≤

2

3

，即0＜a≤

1

4

時，V（x）在(0，

4a

1+2a

]上是增函數，
∴x=

4a

1+2a

時，V（x）有最大值，
當

4a

1+2a

＞

2

3

，即a＞

1

4

時，V（x）在(0，

2

3

]上增函數，在[

2

3

，

4a

1+2a

]上是減函數．
∴x=

2

3

時，V（x）有最大值．

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用，屬于基礎題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．屬于中檔題．