已知函數(shù)f(x)=lnx-
x-1
x
．
（1）判定函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）設a＞1，證明：
lna
a-1
＜
1
a
．
分析：（1）求出f′（x），根據(jù)函數(shù)的定義域x大于0得到f′（x）恒小于等于0即可得到函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；
（2）由（1）知函數(shù)為減函數(shù)，由a大于1得到f（a）小于f（1），分別把f（a）和f（1）求出代入化簡即可得證．
解答：解：（1）f′（x）=
1
x
-
x
- 
1
2
x
(x-1)
x
=
2
x
-x-1
x
x
，x∈（0，+∞）
當2
x
-x-1≤0，即4x≤（x+1）2，即（x-1）2≥0，x∈（0，+∞）時f′（x）≤0恒成立，
所以f（x）在區(qū)間上（0，+∞）單調(diào)遞減；
（2）證明：由（1）得函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，
因為a＞1，所以得到f（a）＜f（1）即lna-
a-1
a
＜0，即lna＜
a-1
a
即
lna
a-1
＜
1
a
．
點評：此題考查學生會利用導函數(shù)的正負得到原函數(shù)的增減性，會利用函數(shù)的增減性化簡求值，是一道中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數(shù)a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數(shù)．

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