Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在[0，+∞）遞增，對(duì)任意的實(shí)數(shù)θ∈R，是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使得f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）對(duì)所有的θ都成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，可得到函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，且f（0）=0，原不等式可化為f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m），即cos2θ-3＞2mcosθ-4m，令t=cosθ，原不等式可轉(zhuǎn)化為t∈[-1，1]時(shí)，是否存在m∈R，使得g（t）=t²-mt+2m-2＞0恒成立，將m分離出來(lái)利用基本不等式即可求出m的取值范圍．

解答：解：∵f（x）為奇函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)，則f（x）在R上為增函數(shù)，且f（0）=0，
所以原不等式可化為f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m），∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m，即∴cos²θ-mcosθ+2m-2＞0．
令t=cosθ，則原不等式可轉(zhuǎn)化為：
當(dāng)t∈[-1，1]時(shí)，是否存在m∈R，使得g（t）=t²-mt+2m-2＞0恒成立．
由t²-mt+2m-2＞0，t∈[-1，1]，得m＞

2-t2

2-t

=t-2+

2

t-2

+4，t∈[-1，1]時(shí)，
令h(t)=(2-t)+

2

2-t

≥2

2

，即當(dāng)且僅當(dāng)t=2-

2

時(shí)，h(t)min=2

2

，
故m＞(t-2+

2

t-2

+4)max=4-2

2

．
即存在這樣的m，且m∈(4-2

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，以及利用基本不等式求最值，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．