設(shè)函數(shù)f（x）=
1
3
x3-
a+1
2
x2+ax．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）在（11，2012）內(nèi)單調(diào)遞減，求a范圍；
（Ⅱ）若實數(shù)a滿足1＜a≤2，函數(shù)g（x）=4x3+3bx2-6（b+2）x（b∈R）的極小值點與f（x）的極小值點相同，求證：g（x）的極大值小于等于10．
分析：（Ⅰ）求出f′（x），由題意知，a≥2012
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）=（x-1）（x-a）．由1＜a≤2，得到函數(shù)f（x）的極小值點，
求導(dǎo)g′（x），得到函數(shù)g（x）的極小值點a=-
b+2
2
，進而得到g（x）的極大值點，得到函數(shù)的極大值，
又由1＜a≤2，得到g（x）極大值=g（1）=6a-2≤10．得證．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）．
由于函數(shù)f（x）在（11，2012）內(nèi)單調(diào)遞減，則a≥2012；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f′（x）=（x-1）（x-a）．
由于a＞1，所以f （x）的極小值點x=a，則g（x）的極小值點也為x=a．
而g′（x）=12x2+6bx-6（b+2）=6（x-1）（2x+b+2），所以a=-
b+2
2
，
即b=-2（a+1）．又因為1＜a≤2，
所以  g（x）極大值=g（1）=4+3b-6（b+2）=-3b-8=6a-2≤10．
故g（x）的極大值小于等于10．
點評：此題要求學(xué)生會利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是一道中檔題．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江西模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=
(
1
3
)x-8(x＜0)
x2+x-1(x≥0)
，若f（a）＞1，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

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設(shè)函數(shù)f（x）定義在實數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且當(dāng)x≥1時，f（x）=3x-1，則（　　）

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已知函數(shù)f（x）的定義域為D，若對任意x1，x2∈D，當(dāng)x1＜x2時，都有f（x1）≤f（x2），則稱函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)．設(shè)函數(shù)f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：①f（0）=0；②f(
x
3
)=
1
2
f(x)；③f（1-x）=2-f（x）．則f(
1
3
)+f(
1
8
)=（　�。�

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（2012•成都一模）設(shè)函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx，記f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′（x）．
（I）當(dāng)a=-1，b=c=-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）當(dāng)c=-a2（a＞0）時，若函數(shù)f（x）的兩個極值點x1、x2滿足|x1-x2|=2，求b的取值范圍；
（III）若a=-
1
3
令h（x）=|f′（x）|，記h（x）在[-1，1]上的最大值為H，當(dāng)b≥0，c∈R時，證明：H≥
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
1
3
 x3+bx2+cx（c＜b＜1）在x=1處取到一個極小值，且存在實數(shù)m，使f′（m）=-1，
①證明：-3＜c≤-1；
②判斷f′（m-4）的正負(fù)并加以證明；
③若f（x）在x∈[m-4，1]上的最大值等于
-2c
3
，求f（x）在x∈[m-4，1]上的最小值．

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