Question

2．語文成績服從正態(tài)分布N（100，17.5²），數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖，如果成績大于135的則認(rèn)為特別優(yōu)秀．
（1）這500名學(xué)生中本次考試語文、數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的大約各多少人？
（2）如果語文和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有6人，
從（1）中的這些同學(xué)中隨機抽取3人，設(shè)三人中兩科都特別優(yōu)秀的有x人，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望．（附公式及表）
若x～N（μ，σ²），則P（μ-σ＜x≤μ+σ）=0.68，P（μ-2σ＜x≤μ+2σ）=0.96．

Answer 1

分析 （1）先求出語文成績特別優(yōu)秀的概率和數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的概率，由此能求出語文和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的人的個數(shù)．
（2）由題意X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）∵語文成績服從正態(tài)分布N（100，17.5²），
∴語文成績特別優(yōu)秀的概率為p₁=P（X≥135）=（1-0.96）×$\frac{1}{2}$=0.02，
數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的概率為p₂=0.0016×$20×\frac{3}{4}$=0.024，
∴語文特別優(yōu)秀的同學(xué)有500×0.02=10人，
數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的同學(xué)有500×0.024=12人．
（2）語文數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的有6人，單科優(yōu)秀的有10人，
X的所有可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{10}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{3}{14}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{10}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{27}{56}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{10}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{15}{56}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{1}{28}$，
∴X的分布列為：

x	0	1	2	3
P	$\frac{3}{14}$	$\frac{27}{56}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{1}{28}$

E（X）=$0×\frac{3}{14}+1×\frac{27}{56}+2×\frac{15}{56}+3×\frac{1}{28}$=$\frac{9}{8}$．

點評 本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運用．