若定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(
5
2
+x)=f(
5
2
-x)且(x-
5
2
)f′(x)<0,則對(duì)于任意的x1<x2,都有f(x1)>f(x2)是x1+x2>5的( 。
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充分必要條件
D、既不充分也不必要條件
考點(diǎn):必要條件、充分條件與充要條件的判斷
專(zhuān)題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯
分析:由已知中f(
5
2
+x)=f(
5
2
-x)可得函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=
5
2
對(duì)稱(chēng),由(x-
5
2
)f′(x)<0可得函數(shù)y=f(x)在(
5
2
,+∞)上是增函數(shù),在(-∞,
5
2
)上是減函數(shù),結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)和充要條件的定義,可判斷f(x1)>f(x2)和x1+x2>5的充要關(guān)系,得到答案.
解答: 解:∵f(
5
2
+x)=f(
5
2
-x),
∴f(x)=f(5-x),
即函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=
5
2
對(duì)稱(chēng).
又因(x-
5
2
)f′(x)>0,故函數(shù)y=f(x)在(
5
2
,+∞)上是增函數(shù).
再由對(duì)稱(chēng)性可得,函數(shù)y=f(x)在(-∞,
5
2
)上是減函數(shù).
∵任意的x1<x2,都有f(x1)>f(x2),故x1和x2在區(qū)間(-∞,
5
2
)上,
∴x1+x2<5.
反之,若 x1+x2<5,則有x2 -
5
2
5
2
-x1,故x1離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn),x2 離對(duì)稱(chēng)軸較近,
由函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性,可得f(x1)>f(x2).
綜上可得,“任意的x1<x2,都有f(x1)>f(x2)”是“x1+x2<5”的充要條件,
故選:C.
點(diǎn)評(píng):判斷充要條件的方法是:
①若p⇒q為真命題且q⇒p為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;
②若p⇒q為假命題且q⇒p為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;
③若p⇒q為真命題且q⇒p為真命題,則命題p是命題q的充要條件;
④若p⇒q為假命題且q⇒p為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.
⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要,誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x+
k
2
x2,(k≥0,且k≠1).
(Ⅰ)當(dāng)k=2時(shí),求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線(xiàn)方程;
(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)k=0時(shí),設(shè)f(x)在區(qū)間[0,n](n∈N)上的最小值為bn,令an=ln(1+n)-bn,求證:
a1
a2
+
a1a3
a2a4
+…
a1a3a2n-1
a2a4a2n
2an+1
-1,(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

化簡(jiǎn) (loga(ab))2+(logab)2-2loga(ab)•logab=
 

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已知S={X|X是平行四邊形或梯形},A={X|X是平行四邊形},B={X|X是菱形},C={X|X是矩形},下列式子不成立的是( 。
A、B∩C={xlx是正方形}
B、∁AB={x|鄰邊不相等的平行四邊形}
C、∁SA={x|x是梯形}
D、A=B∪C

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若C={x∈N|1≤x<10},則( 。
A、5∉CB、5⊆C
C、5?≠CD、5∈C

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

過(guò)點(diǎn) (2,1)的直線(xiàn)中,被圓x2+y2-2x+4y=0截得的最長(zhǎng)弦所在直線(xiàn)的方程是(  )
A、3x-y-5=0
B、3x+y-7=0
C、x+3y-5=0
D、x-3y+1=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2cosx(sinx+cosx).
(Ⅰ)求f(
4
)的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的最小正周期及對(duì)稱(chēng)軸方程;
(Ⅲ)當(dāng)x∈[0,
π
2
]時(shí),求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)為定義在[-1,1]上的奇函數(shù),當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),函數(shù)解析式為f(x)=
1
4x
-
b
2x
(b∈R).
(1)求b的值,并求出f(x)在[0,1]上的解析式.
(2)求f(x)在[-1,1]上的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

函數(shù)y=
-3x2+2x+1
的單調(diào)遞減區(qū)間是
 

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