Question

直線y=2x是△ABC中∠C的平分線所在直線，若A（-4，2），B（3，1）
（1）求點A關(guān)于y=2x對稱點E的坐標(biāo)；
（2）求點C的坐標(biāo)；
（3）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點A關(guān)于y=2x對稱點E的坐標(biāo)為E（a，b），則y=2x是線段AE的垂直平分線，由此能求出點E坐標(biāo)．
（2）設(shè)C（x，2x）由直線y=2x是三角形ABC中∠C的平分線所在直線，知

(x+4)2+(2x-2)2

(x-3)2+(2x-1)2

=

|2×(-4)-2|

|2×3-1|

，由此能求出C點坐標(biāo)．
（3）由A（-4，2），B（3，1），C（2，4），利用斜率公式能得到△ABC是以∠C為直角的直角三角形，再用平面向量公式分別求出|AC|和|BC|，由此能求出△ABC的面積．

解答：解：（1）設(shè)點A關(guān)于y=2x對稱點E的坐標(biāo)為E（a，b），
則y=2x是線段AE的垂直平分線，
∵A（-4，2），
∴設(shè)直線AB的方程為：y-2=-

1

2

（x+4），即x+2y=0，
解方程組

x+2y=0 y=2x

，得AE的中點坐標(biāo)為（0，0），
∴

a-4 2 =0 2+b 2 =0

，解得a=4，b=-2，∴E（4，-2）．
（2）設(shè)C（x，2x）
∵直線y=2x是三角形ABC中∠C的平分線所在直線，
∴

(x+4)2+(2x-2)2

(x-3)2+(2x-1)2

=

|2×(-4)-2|

|2×3-1|

，
整理，得3x²-8x+4=0，
解得x=

2

3

，或x=2．
經(jīng)驗證x=

2

3

不能構(gòu)成三角形，所以x=2，
故C點坐標(biāo)為：C（2，4）．
（3）∵A（-4，2），B（3，1），C（2，4），
∴kAC=

4-2

2+4

=

1

3

，k_BC=

4-1

2-3

=-3，
∴k_AC•k_BC=

1

3

×(-1)=-1，
∴△ABC是以∠C為直角的直角三角形，
∵|AC|=

(2+4)2+(4-2)2

=2

10

，
|BC|=

(3-2)2+(1-4)2

=

10

，
∴△ABC的面積=

1

2

×|AC|×|BC|=

1

2

×2

10

×

10

=10．

點評：本題考查點的坐標(biāo)的求法，考查三角形面積的求法，具體涉及到直線方程、中點坐標(biāo)公式、點到直線的距離、兩點間距離、向量等基本知識點，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．