Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁=b₁，且對任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，．
（1）判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；
（2）證明：（1+a_n）ⁿ⁺¹•b_nⁿ＞1．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)，把a_n+b_n=1代入整理得，進而根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列為等差數(shù)列．
（2）根據(jù)a_n+b_n=1，a₁=求得a₁和b₁．進而根據(jù)（1）中求得a_n，進而求得b_n，進而可知要證不等式（1+a_n）ⁿ⁺¹•b_nⁿ＞1，即，令，對函數(shù)f（x）進行求導，再令，對函數(shù)g（x）進行求導，進而利用導函數(shù)判斷f（x）和g（x）的單調(diào)性，進而利用函數(shù)的單調(diào)性證明原式．
解答：（1）解：數(shù)列為等差數(shù)列．
理由如下：
∵對任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，，
∴．
∴，即．
∴數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列．
（2）證明：∵a_n+b_n=1，a₁=
∴a₁=b₁=．
由（1）知．
∴，．
所證不等式（1+a_n）ⁿ⁺¹•b_nⁿ＞1，即，
也即證明．
令，
則．
再令，
則=．
當x＞1時，g′（x）＜0，
∴函數(shù)g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當x＞1時，g（x）＜g（1）=0，即．
∴當x＞1時，＜0．
∴函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴（1+a_n）ⁿ⁺¹•b_nⁿ＞1成立．
點評：本小題主要考查導數(shù)及其應(yīng)用、數(shù)列、不等式等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識