Question

定義：若?x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為函數(shù)y=f（x）的一個不動點(diǎn)
（1）下列函數(shù)不存在不動點(diǎn)的是

C

（單選）
   A．f（x）=1-log_ax（a＞1）B．f（x）=x²+（b+2）x+1（b＞1）C．f（x）=lnx        D．f（x）=x
（2）設(shè)f（x）=2lnx-ax²（a∈R），求f（x）的極值
（3）設(shè)g(x)=2lnx-ax2+x-

e

a

+

1

2

（e為自然對數(shù)的底數(shù)），當(dāng)a＞0時，討論函數(shù)g（x）是否存在不動點(diǎn)，若存在求出a的范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）令x=1，可判斷A中函數(shù)是否存在不動點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)（x）=f（x）-x，判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)，可判斷B中函數(shù)是否存在不動點(diǎn)，根據(jù)不動點(diǎn)的定義，可判斷D中函數(shù)有無數(shù)個不動點(diǎn)；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的極值點(diǎn)，代入解析式可得函數(shù)的極值．
（3）若函數(shù)存在不動點(diǎn)，則方程g（x）=x有解，即2lnx-ax2-

e

a

+

1

2

=0有解，利用導(dǎo)數(shù)法求出2lnx-ax2-

e

a

+

1

2

的最值，比較后可得結(jié)論．

解答：解．（1）當(dāng)x=1時，f（x）=1-log_ax=x，故A中函數(shù)f（x）存在不動點(diǎn)；
令g（x）=f（x）-x=x²+（b+1）x+1
∵b＞1
∴△=（b+1）²-4＞0
則方程g（x）=0有根，即B中函數(shù)f（x）存在不動點(diǎn)；
D中任意x值均為不動點(diǎn)，
故選C┅┅（4分）
（2）f′(x)=

2

x

-2ax=

2-2ax2

x

(x＞0)
①當(dāng)a=0時，f′(x)=

2

x

＞0，f（x）在（0，+∞）上位增函數(shù)，無極值；
②當(dāng)a＜0時，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上位增函數(shù)，無極值；
③當(dāng)a＞0時，f'（x）=0，得x=

1 a

，列表如下：

X	(0， 1 a )	1 a	( 1 a ，+∞)
f'（x）	+	0	_
f（x）	增	極大值	減

當(dāng)x=

1 a

時，f（x）有極大值=f(

1 a

)=-lna-1
綜上，當(dāng)a≤0時無極值，當(dāng)a＞0時f（x）有極大值=f(

1 a

)=-lna-1．┅┅（10分）
（3）假設(shè)存在不動點(diǎn)，則方程g（x）=x有解，即2lnx-ax2-

e

a

+

1

2

=0有解．
設(shè)h（x）=2lnx-ax2-

e

a

+

1

2

，（a＞0）有（2）可知h（x）極大值=-lna-1-

e

a

+

1

2

=-lna-

e

a

-

1

2

，下面判斷h（x）極大值是否大于0，設(shè)p(x)=-lna-

e

a

-

1

2

，（a＞0），p′(a)=-

1

a

+

e

a2

=

e-a

a2

，列表如下：

A	（0，e））	e	（e，+∞）
p'（a）	+	0	-
P（a）	增	極大值	減

當(dāng)a=e時，p（a）極大值=p（e）=-

5

2

＜0，所以p(a)=-lna-

e

a

-

1

2

＜0恒成立，即h（x）極大值小于零，所以g（x）無不動點(diǎn)．┅┅（14分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，函數(shù)的值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)是高考必考內(nèi)容，其經(jīng)典題型分析單調(diào)性，求極值，求最值一定要熟練掌握．