Question

【題目】已知橢圓C：（）．若，，，四點(diǎn)中有且僅有三點(diǎn)在橢面C上．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F為橢圓C的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l分別與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，，求證：直線，關(guān)于x軸對(duì)稱．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析．

【解析】

（1）根據(jù)，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得到B，P均在橢圓上，再由點(diǎn)與點(diǎn)不關(guān)于x軸對(duì)稱，得到在橢圓上求解.

（2）當(dāng)直線l為x軸時(shí)，顯然直線，關(guān)于x軸對(duì)稱，當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，設(shè)l：，，，由聯(lián)立，將韋達(dá)定理代入求解.

（1）因?yàn)?/span>，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

故B，P均在橢圓上，

而點(diǎn)與點(diǎn)不關(guān)于x軸對(duì)稱，

故Q不在橢圓上，

因此，

且，

解得．

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）由（1）知，則，

當(dāng)直線l為x軸時(shí)，顯然直線，關(guān)于x軸對(duì)稱；

當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，設(shè)l：，，，

由消去x整理得．

所以，．

因?yàn)?/span>

，

則，

即，

故直線，關(guān)于x軸對(duì)稱

綜上可知，直線，關(guān)于x軸對(duì)稱．