Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且有S_n=

1

2

n²+

11

2

n，數(shù)列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9項(xiàng)和為153；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求使不等式T_n＞

k

57

對(duì)一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閿?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且有S_n=

1

2

n²+

11

2

n，利用公式a_n=S_n-S_n-1，求出a_n的通項(xiàng)公式；
（2）又因?yàn)閎_n+2-2b_n+1+b_n=0，所以數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求出b_n的通項(xiàng)公式；
（3）由（1）可知a_n和b_n的通項(xiàng)公式，代入c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

，利用裂項(xiàng)法，求出前n項(xiàng)和T_n，根據(jù)不等式T_n＞

k

57

，求出k的值；

解答：解：（1）因?yàn)镾_n=

1

2

n²+

11

2

n，故
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n+5；當(dāng)n=11時(shí)，a₁=S₁=6；滿足上式；
所以a_n=n+5，
（2）又因?yàn)閎_n+2-2b_n+1+b_n=0，所以數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
由S₉=

9(b3+b7)

2

=153，b₃=11，故b₇=23；所以公差d=

23-11

7-3

=3；
所以：b_n=b₃+（n-3）d=3n+2；
（3）由（1）知：C_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

=

1

(2n-1)(2n+1)

，
而C_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
所以：T_n=c₁+c₂+c₃+c₄+…+c_n=

1

2

[1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，
又因?yàn)門_n+1-T_n=

n+1

2n+3

-

n

2n+1

=

1

(2n+3)(2n+1)

＞0；
所以{T_n}是單調(diào)遞增，故（T_n）_min=T₁=

1

3

；
由題意可知

1

3

＞

k

57

；得k＜19，所以k的最大正整數(shù)為18；

點(diǎn)評(píng)：本題為數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用，涉及求數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的求和以及恒成立問題，數(shù)列題是高考中�？嫉念}型，屬中檔題，有一定的難度；