Question

已知橢圓C₁：（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A（1，0），過(guò)C₁的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1。

（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C₂：y=x²+h（h∈R）上，C₂在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與C₁交于點(diǎn)M、N。當(dāng)線(xiàn)段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求h的最小值。

Answer 1

解：（1）由題意，得 從而 因此，所求的橢圓方程為；

（2）如圖，設(shè) 則拋物線(xiàn)C2在點(diǎn)P處的切線(xiàn)斜率為 直線(xiàn)MN的方程為：y=2tx-t2+h 將上式代入橢圓C1的方程中，得4x2+（2tx-t2+h）2-4=0 即  ① 因?yàn)橹本�(xiàn)MN與橢圓C1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 所以①式中的Δ=16[-t4+2（h+2）t2-h2+4] >0  ② 設(shè)線(xiàn)段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3，則 設(shè)線(xiàn)段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x4，則 由題意，得x3=x4，即t2+（1+h）t+1=0  ③  由③式中的Δ2=（1+h）2-4≥0，得h≥1或h≤-3 當(dāng)h≤-3時(shí)，h+2<0，4-h2<0，則不等式②不成立， 所以h≥1 當(dāng)h=1時(shí)，代入方程③得t=-1 將h=1，t=-1代入不等式②，檢驗(yàn)成立， 所以，h的最小值為1。