Question

已知如圖橢圓=1（a＞b＞0）的離心率為，橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B，AB=4，直線x=t（-2＜t＜2）與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，經(jīng)過三點(diǎn)A，M，N的圓與經(jīng)過三點(diǎn)B，M，N的圓分別記為圓C1與圓C2．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：無論t如何變化，圓C1與圓C2的圓心距是定值；
（3）當(dāng)t變化時(shí)，求圓C1與圓C2的面積的和S的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AB=4求得a，通過離心率求得c，進(jìn)而可得b，求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）根據(jù)題意可得A，B，M，N，P的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線AM和PC₁的斜率，進(jìn)而可求得直線PC₁的方程通過C₁和C₂的求得線段C₁C₂的長度為定值．
（3）根據(jù)兩圓的半徑求出關(guān)于t的圓C1與圓C2的面積的和S的關(guān)系式，根據(jù)t的范圍可求得S的最小值．
解答：解：（1）由題意：可得：，
故所求橢圓方程為：=1，
（2）易得A的坐標(biāo)（-2，0），B的坐標(biāo)（2，0），M的坐標(biāo)，N的坐標(biāo)，
線段AM的中點(diǎn)P，
直線AM的斜率k₁==，
又PC₁⊥AM，∴直線PC₁的斜率k₂=-2
∴直線PC₁的方程y=-2（x-）+，
∴C₁的坐標(biāo)為（，0）同理C₂的坐標(biāo)為（，0），
∴|C₁C₂|=，即無論t如何變化，為圓C1與圓C2的圓心距是定值．
（3）圓C₁的半徑為|AC₁|=，圓C₂的半徑為|BC₂|=，
則S=π|AC₁|²+π|BC₂|²=（9t²+100）（-2＜t＜2）
顯然t=0時(shí)，S最小，S_min=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．平時(shí)要多注意積累橢圓的幾何性質(zhì)，掌握用坐標(biāo)法研究直線與橢圓，圓與橢圓的位置關(guān)系，熟練地求弦長、面積、對(duì)稱等問題．