Question

設橢圓M：（a＞b＞0）的離心率為，點A（0，a），B（-b，0），C（0，-a），原點O到直線AB的距離為，點P在橢圓M上（與A，C均不重合），點D在直線PC上，若直線PA的方程為x=my-4，且•=0．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）求直線BD的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由e²===1-=，得a=b．由點A（0，a），B（-b，0），知直線AB的方程為4x-3y+4b=0，由原點O到直線AB的距離==，知b=3，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）由A（0，4），B（-3，0），直線l_PA：x=my-4，知m=1，即l_PA：x-y+4=0，設P（x，y），則x²==（16-y²），k_PC•k_PA=×===-．由此入手能夠求出直線BD的方程．
解答：解：（Ⅰ）由e²===1-=，得a=b（2分）
由點A（0，a），B（-b，0）知直線AB的方程為+=1，即l_AB：4x-3y+4b=0
又原點O到直線AB的距離==，∴b=3，（4分）
∴b²=9，a²=16
從而橢圓M的方程為：．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（0，4），B（-3，0），而直線l_PA：x=my-4，∴4m-4=0，⇒m=1，
即l_PA：x-y+4=0，（6分）
設P（x，y），則，∴x²==（16-y²）
k_PC•k_PA=×===-
∴k_PC=-=--，（9分）
∵•=0，∴k_PCk_BD=-1，即k_BD=-=，（11分）
又B（-3，0），∴直線BD的方程為y=（x+3）即9x-16y+27=0（12分）
注：本問也可先求出P點坐標，再求直線方程．
點評：本題考查橢圓方程和直線方程的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活運用橢圓性質(zhì)，合理進行等價轉化．