Question

已知an=logn+1(n+2)(n∈N*)我們把使乘積a₁a₂…a_n為整數(shù)的數(shù)n叫做“成功數(shù)”，則在區(qū)間（1，2011）內(nèi)的所有成功數(shù)的和為（　　）

A．1024

B．2003

C．2026

D．2048

Answer 1

分析：由題意可得，a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg(n+2)

lg(n+1)

=log₂（n+2），若使log₂（n+2）為整數(shù)，則n+2=2^k，在（1，2010]內(nèi)的所有整數(shù)可求，進(jìn)而利用分組求和及等比數(shù)列的求和公式可求．

解答：解：∵a_n=log_n+1（n+2），
∴a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg(n+2)

lg(n+1)

=log₂（n+2），
若使log₂（n+2）為整數(shù)，則n+2=2^k，在（1，2010）內(nèi)的所有整數(shù)分別為：2²-2，，2³-2，…，2¹⁰-2，
∴所求的數(shù)的和為2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2=

4(1- 2 9)

1-2

-2×9=2026，
故選C．

點評：本題以新定義“成功數(shù)”為切入點，主要考查了對數(shù)的換底公式及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔試題．