Question

如圖，已知矩形AA₁B₁B中，AA₁=2，AB=1，若矩形AA₁C₁C是矩形AA₁B₁B繞AA₁旋轉(zhuǎn)而成，記二面角B-AA₁-C的大小為θ，θ∈（0，π），E是BC的中點．
（1）求證：無論θ為何值，A₁C∥平面AEB₁；
（2）求直線AB與平面ACB₁所成角的正弦值的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）取B₁C₁中點F，連接EF，A₁F，要證明A₁C∥平面AEB₁，只需證明面A₁CF∥面AEB₁，進而轉(zhuǎn)化為線面平行即可；
（2）向量法：建立空間直角坐標系，轉(zhuǎn)化為求平面ACB₁的法向量與向量

AB

的夾角余弦值解決．

解答：解：（1）取B₁C₁中點F，連接EF，A₁F，
∵FE∥AA₁，F(xiàn)E=AA₁，∴FEAA₁為平行四邊形，∴A₁F∥AE，
∵A₁F?面AEB₁，∴A₁F∥面AEB₁，
又CF∥B₁E，CF=B₁E，CF?面AEB₁，
∴CF∥面AEB₁，∴面A₁CF∥面AEB₁，
∴A₁C∥面AEB₁．
（2）∵AC⊥AA₁，AB⊥AA₁，∴∠CAB=θ，∠CAE=

θ

2

，如圖，建立空間直角坐標系，
∴E（0，0，0），A（0，cos

θ

2

，0），B（sin

θ

2

，0，0），C（-sin

θ

2

，0，0），B₁（sin

θ

2

，0，2），
∴

AB

=（sin

θ

2

，-cos

θ

2

，0），

AC

=（-sin

θ

2

，-cos

θ

2

，0），

CB1

═（2sin

θ

2

，0，2），
設(shè)平面ACB₁的法向量

n

=（x，y，z），
則-xsin

θ

2

-ycos

θ

2

=0，2xsin

θ

2

+2z=0，

n

=（cos

θ

2

，-sin

θ

2

，-sin

θ

2

cos

θ

2

）=（cos

θ

2

，-sin

θ

2

，-

1

2

sinθ），
∴cos＜

AB

，

n

＞=

sinθ

1+ 1 4 sin2θ

=

1

1 sin2θ + 1 4

∈（0，

2 5

5

]，
所以直線AB與平面ACB₁所成角的正弦值的取值范圍為（0，

2 5

5

]．

點評：本題考查線面平行的判定、線面角的求解以及面面平行的性質(zhì)，考查空間向量的坐標運算，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．