Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t為參數(shù)），直線l與曲線C：（y-2）²-x²=1交于A，B兩點．
（Ⅰ）求|AB|的長；
（Ⅱ）在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點P的極坐標(biāo)為（2

2

，

3π

4

），求點P到線段AB中點M的距離．

Answer 1

考點：點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）把直線l的參數(shù)方程

x=-2+ 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t為參數(shù)）代入曲線C：（y-2）²-x²=1，可得：t²+4t-10=0，設(shè)點A，B的參數(shù)分別為t₁，t₂．利用跟與系數(shù)的關(guān)系代入|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

即可得出．
（II）由點P的極坐標(biāo)（2

2

，

3π

4

），可得直角坐標(biāo)(2

2

cos

3π

4

，2

2

sin

3π

4

)．線段AB中點M的參數(shù)t=

t1+t2

2

，即可得出M(-3，2-

3

)．再利用兩點之間的距離公式可得|PM|．

解答： 解：（I）把直線l的參數(shù)方程

x=-2+ 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t為參數(shù)）代入曲線C：（y-2）²-x²=1，
化為t²+4t-10=0，
設(shè)點A，B的參數(shù)分別為t₁，t₂．∴t₁+t₂=-4，t₁t₂=-10．
則|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

42+4×10

=2

14

．
（II）由點P的極坐標(biāo)（2

2

，

3π

4

），可得直角坐標(biāo)(2

2

cos

3π

4

，2

2

sin

3π

4

)，即（-2，2）．
線段AB中點M的參數(shù)t=

t1+t2

2

=-2，∴M(-3，2-

3

)．
∴|PM|=

(-2+3)2+(2-2+ 3 )2

=2．

點評：本題考查了直線與雙曲線相交弦長問題、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、中點坐標(biāo)公式、兩點之間的距離公式，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．