Question

已知橢圓M的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F是橢圓M的一個(gè)焦點(diǎn)，以F為圓心，以橢圓M的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線y=

2

4

（x+2）相切
（1）求橢圓M的方程；
（2）已知直線l：y=kx+m與橢圓M交于A，B兩點(diǎn)，且橢圓上的點(diǎn)P滿足

OP

=

OA

+

OB

．證明：四邊形OAPB的面積為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用以F為圓心，以橢圓M的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線y=

2

4

（x+2）相切，求出b，a，即可求橢圓M的方程；
（2）直線l：y=kx+m與橢圓M聯(lián)立，求出|AB|，點(diǎn)O到直線的距離，即可證明四邊形OAPB的面積為定值．

解答： 解：（1）拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），直線

2

x-4y+2

2

=0．
∵以F為圓心，以橢圓M的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線y=

2

4

（x+2）相切
∴b=

|-2 2 - 2 |

16+2

=1，
∴a=

2

，
∴橢圓M的方程為

x2

2

+y²=1；
（2）設(shè)A，B，P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x，y），
∵

OP

=

OA

+

OB

，
∴x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，
直線l：y=kx+m與橢圓M聯(lián)立可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，y₁+y₂=

2m

1+2k2

，
代入橢圓方程可得4m²=1+2k²，
|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

•

2 2 • 2k2-m2+1

1+2k2

點(diǎn)O到直線的距離d=

|m|

1+k2

，
∴S=|AB|d=

1+k2

•

2 2 • 2k2-m2+1

1+2k2

•

|m|

1+k2

=

32m2-8m2 |m|

4m2

=

6

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．