Question

已知函數(shù)f（x）=ln（2x-1）+ax²-3x在x=1處取得極值．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：?x∈（1，3]，m∈（0，+∞），f(x)＜

m

+

1

m

-4．

Answer 1

分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），令f′（1）=0，求出a值；將a的值代入f′（x）中；令f′（x）＞0求出遞增區(qū)間，令f′（x）＜0，求出遞減區(qū)間．
（2）求出f（x）的極大值與端點(diǎn)值求出f（x）在（1，3]的最大值；利用基本不等式求出

m

+

1

m

-4的最小值，
得到

m

+

1

m

-4的最小值大于f（x）的最大值，得證．

解答：解：（1）f′（x）=

2

2x-1

+2ax-3，由f′（1）=0，得a=

1

2

．（4分）
∴f（x）=ln^（2x-1）+

1

2

x2-3x，(x＞

1

2

)，f^/（x）=

2

2x-1

+x-3=

2x2-7x+5

2x-1

=

(x-1)(2x-5)

2x-1

，
有圖可知函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間為
增區(qū)間為：(

1

2

，1)，(

5

2

，+∞)，減區(qū)間為：(1，

5

2

)（8分）

（2）由f（x）在(

1

2

，1)，(

5

2

，3)遞增，在(1，

5

2

)遞減．在x=1時(shí)取得極大值-

5

2

又f（3）=ln5-f（3）=ln5-f（3）=ln5-

9

2

，-

5

2

＞ln5-

9

2

所以在?x∈（1，3]，f（x）＜-

5

2

又m∈（0，+∞），

m

+

1

m

-4≥2-4=-2，（當(dāng)m=1時(shí)取等號(hào)）
即

m

+

1

m

-4的最小值為-2，-2＞-

5

2

∴?x∈（1，3]，f（x）＜

m

+

1

m

-4恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率；考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及求極值、最值；考查基本不等式求函數(shù)的最值．