Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a＞0），若f（-1）=0，且對任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立．且F（x）=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

（I）求F（x）的表達式；
（II）若當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）二次函數(shù)過點（-1，0）代入求出a與b的關(guān)系式，減少未知量，再根據(jù)任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立，a＞0，開口向上，可得△≤0，從而求解出a的范圍，得到a值，再寫出F（x）；
（II）由（I）可知f（x）的解析式，代入g（x），然后對g（x）進行求導，利用常數(shù)分離法求出k的取值范圍；

解答：解：（I）∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a＞0），且f（-1）=0，
∴a-b+1=0，得b=a+1，
則f（x）=ax²+（a+1）x+1，又∵對任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立，a＞0，
∴△=（a+1）²-4a≤0，即（a-1）²≤0，∴a=1，
∴f（x）=x²+2x+1，
∴F（x）=

x2+2x+1   (x＞0) -x2-2x-1     (x＜0)

（II）由上可知g（x）=x²+（2-k）x+1，∴函所g（x）的對稱軸為x=

2-k

2

∴當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)
∴有

2-k

2

≥2或

2-k

2

≤-2
∴k≥6或k≤-2

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的應用，兩個函數(shù)的簡單運算后判定單調(diào)性，解題過程中用到了常數(shù)分離法求范圍的方法，這是高考�？嫉目键c，我們要熟練掌握；