Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，，n=2，3，4，…．
（Ⅰ）求a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ）設(shè)，n=1，2，3…，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）對(duì)任意的m≥2，m∈N^*，在數(shù)列{a_n}中是否存在連續(xù)的2^m項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，寫出這2^m項(xiàng)，并證明這2^m項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件可知a₂=1+2a₁=3，，a₄=1+2a₂=7，．
（Ⅱ）由題意知，又，所以b_n+1=2b_n．再由可知b_n=2ⁿ．
（Ⅲ）對(duì)任意的m≥2，k∈N^*，在數(shù)列{a_n}中，這連續(xù)的2^m項(xiàng)就構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．再用分析法進(jìn)行證明．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閍₁=1，所以a₂=1+2a₁=3，，a₄=1+2a₂=7，（3分）
（Ⅱ）由題意，對(duì)于任意的正整數(shù)n，，
所以（4分）
又
所以b_n+1=2b_n（6分）
又（7分）
所以{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以b_n=2ⁿ（8分）
（Ⅲ）存在．事實(shí)上，對(duì)任意的m≥2，k∈N^*，在數(shù)列{a_n}中，
這連續(xù)的2^m項(xiàng)就構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列（10分）
我們先來(lái)證明：
“對(duì)任意的n≥2，n∈N^*，k∈（0，2^n-1），k∈N^*，有”
由（II）得，所以．
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，
記
因此要證，只需證明，
其中k₁∈（0，2^n-2），k₁∈N^*
（這是因?yàn)槿?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180913611089437/SYS201310241809136110894019_DA/21.png">，則當(dāng)時(shí)，則k一定是奇數(shù)，
有
=；
當(dāng)時(shí)，則k一定是偶數(shù)，有
=）
如此遞推，要證，只要證明，
其中，k₂∈（0，2^n-3），k₂∈N^*
如此遞推下去，我們只需證明，k_n-2∈（0，2¹），k_n-2∈N^*
即，即，由（I）可得，
所以對(duì)n≥2，n∈N^*，k∈（0，2^n-1），k∈N^*，有，
對(duì)任意的m≥2，m∈N^*，，，
其中i∈（0，2^m-1），i∈N^*，
所以
又，，所以
所以這連續(xù)的2^m項(xiàng)，
是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列（13分）
說(shuō)明：當(dāng)m₂＞m₁（其中m₁≥2，m₁∈N^*，m₂∈N^*）時(shí)，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180913611089437/SYS201310241809136110894019_DA/44.png">構(gòu)成一個(gè)項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，
所以從這個(gè)數(shù)列中任取連續(xù)的項(xiàng)，也是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為，公差為的等差數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用，具有一定的難度，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意培養(yǎng)計(jì)算能力．