Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$與直線${l_1}：y=\frac{1}{2}x$，${l_2}：y=-\frac{1}{2}x$，過橢圓上一點(diǎn)P作l₁，l₂的平行線，分別交l₁，l₂于M，N兩點(diǎn)．若|MN|為定值，則$\sqrt{\frac{a}}$的值是2．

Answer 1

分析 取點(diǎn)P為上下定點(diǎn)，分別求出MN的長度，兩次求出MN相等，即可得到a、b的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：當(dāng)點(diǎn)P為（0，b）時(shí)，過橢圓上一點(diǎn)P作l₁，l₂的平行線分別為${l_1}：y=\frac{1}{2}x$+b，${l_2}：y=-\frac{1}{2}x$+b，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+b}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$可得M（b，$\frac{2}$），同理可得N（-b，$\frac{2}$），|MN|=2b．
當(dāng)點(diǎn)P為（a，0）時(shí)，過橢圓上一點(diǎn)P作l₁，l₂的平行線分別為${l_1}：y=\frac{1}{2}x$-$\frac{1}{2}a$，${l_2}：y=-\frac{1}{2}x$+$\frac{1}{2}a$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}a}\end{array}\right.$可得M（$\frac{a}{2}$，$\frac{1}{4}a$），同理可得N（$\frac{a}{2}$，-$\frac{1}{4}a$），），|MN|=$\frac{a}{2}$．
若|MN|為定值，則2b=$\frac{a}{2}$，⇒$\frac{a}=4$，∴則$\sqrt{\frac{a}}$的值是2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓與直線的位置關(guān)系，根據(jù)已知采用特例法是解客觀題的有效辦法，屬于中檔題，