Question

22、定義在[-1，1]上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且當(dāng)a，b∈[-1，1]時(shí)，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a），判斷f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：根據(jù)定義先對(duì)a、b進(jìn)行賦值令a=x₂，b=x₁，并規(guī)定大小，代入af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a），然后化簡(jiǎn)提取公因數(shù)，判定出f（x₂）與f（x₁）的大小，根據(jù)增函數(shù)的定義進(jìn)行判定即可．

解答：證明：設(shè)-1≤x₁＜x₂≤1，令a=x₂，b=x₁，
則x₂f（x₂）+x₁f（x₁）＞x₂f（x₁）+x₁f（x₂）
∴（x₂-x₁）f（x₂）+（x₁-x₂）f（x₁）＞0，
∴（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＞0
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及賦值法的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．