Question

17．已知點A（-2，3）在拋物線C：y²=2px的準(zhǔn)線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則|BF|=10．

Answer 1

分析 由題意先求出準(zhǔn)線方程x=-2，再求出p，從而得到拋物線方程，寫出第一象限的拋物線方程，設(shè)出切點，并求導(dǎo)，得到切線AB的斜率，再由兩點的斜率公式得到方程，解出方程求出切點，再由兩點的距離公式可求得．

解答 解：∵點A（-2，3）在拋物線C：y²=2px的準(zhǔn)線上，
即準(zhǔn)線方程為：x=-2，
∴p＞0，-$\frac{p}{2}$=-2即p=4，
∴拋物線C：y²=8x，在第一象限的方程為y=2$\sqrt{2x}$，
設(shè)切點B（m，n），則n=2$\sqrt{2m}$，
又導(dǎo)數(shù)y′=2$\sqrt{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{\sqrt{x}}$，則在切點處的斜率為$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{m}}$，
∴$\frac{n-3}{m+2}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{m}}$，即$\sqrt{m}$m+2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$-3$\sqrt{m}$，
解得：$\sqrt{m}$=2$\sqrt{2}$或（$\frac{\sqrt{2}}{2}$舍去），
∴切點B（8，8），又F（2，0），
∴|BF|=$\sqrt{36+64}$=10．
故答案為：10．

點評 本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)，同時考查直線與拋物線相切，運用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率等，是一道中檔題．