Question

關(guān)于函數(shù)函數(shù)f（x）=2cosx(cosx+

3

sinx)-1，以下結(jié)論正確的是（　　）

• A、f（x）的最小正周期是π，在區(qū)間(-

  π

  12

  ，

  5π

  12

  )是增函數(shù)
• B、f（x）的最小正周期是2π，最大值是2
• C、f（x）的最小正周期是π，最大值是

  3

• D、f（x）的最小正周期是π，在區(qū)間(-

  π

  12

  ，

  π

  6

  )是增函數(shù)

Answer 1

分析：有關(guān)求復(fù)和角三角函數(shù)性質(zhì)問題，可以先將函數(shù)化簡成f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，然后利用公式T=

2π

ω

即可求出最小正周期，利用正弦函數(shù)y=sinx的增區(qū)間來求出f（x）=Asin（ωx+φ）的增區(qū)間即可確定選項(xiàng)．

解答：解：f(x)=2sin(2x+

π

6

)，最小正周期是π，在(-

π

12

，

π

6

)是增函數(shù)．f（x）=2cosx(cosx+

3

sinx)-1=2cos²x+2

3

cosxsinx-1=cos2x+1+

3

sin2x-1=2（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）
=2（sin

π

6

cos2x+cos

π

6

sin2x）=2sin（2x+

π

6

），
所以函數(shù)最小正周期為T=

2π

2

=π，最大值為2；
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
令k=0可知函數(shù)的一個(gè)增區(qū)間為[-

π

3

，

π

6

]，
由于D選項(xiàng)的增區(qū)間是所求區(qū)間的一個(gè)子區(qū)間，且周期為π．
故選擇D

點(diǎn)評：本題主要考查復(fù)合角函數(shù)的周期，最值，單調(diào)區(qū)間的求法，并附帶考查了降冪公式與兩角和正弦公式，屬于中等體型，難度系數(shù)0.6