(附加題)
(1)設(shè)集合A={1,2,3,…,10},求集合A的所有非空子集元素和的和.
(2)在區(qū)間[2,3]上,方程log2log3x=log3log2x的實(shí)根的個(gè)數(shù)共有________ 個(gè).

解:(1)由10個(gè)元素組成的集合M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},的子集有:
∅,{1},{2},{3},{4}…{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},…共210個(gè).
先計(jì)算出包含元素1的集合:剩下的9個(gè)元素組成的集合含有29個(gè)子集,包括空集
而以上29個(gè)子集和元素1組合(含空集),又構(gòu)成了集合M的所有非空子集中含元素1 的非空子集
即:在集合M的所有非空子集中,元素1出現(xiàn)了29
同理,在集合M的所有非空子集中,元素2、3、4、5、…、10都出現(xiàn)了29
故集合M的所有非空子集元素和的和為:
(1+2+3+4+…+10)×29=55×29=28160.
(2)令log2log3x=log3log2x=t則log3x=2t,log2x=3t,
=,∴t>0,①
又∵x∈[2,3],∴l(xiāng)og3x∈[log32,1],故log3x=2t≤1,∴t≤0,②,
由①②可知,不存在滿足條件的t,
故原方程無(wú)解.
故答案為:0.
分析:(1)由10個(gè)元素組成的集合M的子集是指屬于集合的部分或所有元素組成的集合,其中包括空集.欲求集合M的所有子集的元素和的和,先計(jì)算出包含元素1的集合:剩下的9個(gè)元素組成的集合含有29個(gè)子集,包括空集,同理,在集合M的所有非空子集中,元素2、3、4、5、…、10都出現(xiàn)了29次,從而得出集合M的所有非空子集元素和的和.
(2)令log2log3x=log3log2x=t則log3x=2t,log2x=3t,兩式相除得=得出t>0;又x∈[2,3]得到t≤0,兩者矛盾,從而得出原方程無(wú)解.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查子集與真子集、數(shù)列求和、根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
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(2)在區(qū)間[2,3]上,方程log2log3x=log3log2x的實(shí)根的個(gè)數(shù)共有
0
0
 個(gè).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年福建省莆田市仙游一中高一(上)第三次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷(1-6班)(解析版) 題型:解答題

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(1)設(shè)集合A={1,2,3,…,10},求集合A的所有非空子集元素和的和.
(2)在區(qū)間[2,3]上,方程log2log3x=log3log2x的實(shí)根的個(gè)數(shù)共有______ 個(gè).

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