Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）+g（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）+g（x）的奇偶性，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)的定義

x+1＞0 1-x＞0

，從而可解得f（x）+g（x）的定義域；
（2）令F（x）=f（x）+g（x）=log_a[（x+1）（1-x）]，定義域?yàn)椋?1，1），根據(jù)已知求得F（x）=F（-x）即可證明F（x）=f（x）+g（x）在（-1，1）上是偶函數(shù)．

解答： （1）由函數(shù)的定義

x+1＞0 1-x＞0

，解得

x＞-1 x＜1

∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）…（4分）
（2）令F（x）=f（x）+g（x）
=log_a（x+1）+log_a（1-x）
=log_a[（x+1）（1-x）]，定義域?yàn)椋?1，1）
F（-x）=log_a[（-x+1）（1-（-x））]
=log_a[（x+1）（1-x）]=F（x）
∵F（x）=F（-x）
∴F（x）=f（x）+g（x）在（-1，1）上是偶函數(shù)                           …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考察了函數(shù)的奇偶性的證明，屬于基礎(chǔ)題．