Question

已知命題p：?x∈[1，3]，(

1

2

)x-1+m-1＜0，命題q：?x∈（0，+∞），mx²+x-4=0．若“p且q”為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)不等式恒成立，利用職權(quán)分離參數(shù)法把命題p轉(zhuǎn)化為知1-m＞(

1

2

)x-1恒成立；根據(jù)一元二次方程根的情況把命題q轉(zhuǎn)化為：?x∈（0，+∞），m=

4-x

x2

，根據(jù)“p且q”為真，判斷出p真q真，從而求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：由(

1

2

)x-1+m-1＜0，知1-m＞(

1

2

)x-1，
∵x∈[1，3]，∴(

1

2

)x-1∈[

1

4

，1]，
∴1-m＞1，即m＜0．
又由mx²+x-4=0，x＞0，得m=

4-x

x2

，
∵

4-x

x2

=4(

1

x

)2-

1

x

=4(

1

x

-

1

8

)2-

1

16

∈[-

1

16

，+∞)，
由題m∈[-

1

16

，+∞)
由“p且q”為真命題，知p和q都是真命題，
所以，符合題意的m的取值范圍是[-

1

16

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題以復(fù)合命題的真假為載體考查二次方程實(shí)根存在問題和不等式恒成立問題．二次方程實(shí)根存在問題和不等式恒成立問題都要結(jié)合轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行處理，體現(xiàn)函數(shù)、方程、不等式的聯(lián)系．屬中檔題．