已知函數(shù)f(x)=數(shù)學(xué)公式,滿足f(1)=1,且使f(x)=2x成立的實數(shù)x只有一個,
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)若數(shù)列{an}滿足a1=數(shù)學(xué)公式,an+1=f(an)(n∈N+),
(。┰嚽骯2,a3,a4,并由此猜想數(shù)列{an}的通項公式an;
(ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法加證明你的猜想.

解:(1)∵函數(shù)f(x)=,滿足f(1)=1,
∴a=2b+1
∵f(x)=2x只有一解,∴只有一解,
即2ax2-2(1+b)x=0(a≠0)
∴4(1+b)2-4×2a×0=0
∴b=-1,∴a=-1
∴f(x)=;
(2)(。遖1=,an+1=f(an),
∴a2=f(a1)=,a3=f(a2)=,a4=f(a3)=,
猜想;
(ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:
①n=1時,左邊=a1=,右邊=,∴猜想成立;
②假設(shè)n=k時,結(jié)論成立,即,
則n=k+1時,ak+1=f(ak)==,
即n=k+1時,結(jié)論成立
由①②可知
分析:(1)利用函數(shù)f(x)=,滿足f(1)=1,可得a=2b+1;根據(jù)f(x)=2x只有一解,可得4(1+b)2-4×2a×0=0,由此可得函數(shù)解析式;
(2)(ⅰ)利用a1=,an+1=f(an),代入計算,可求a2,a3,a4,從而猜想數(shù)列{an}的通項公式an
(ⅱ)利用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟,證明即可.
點評:本題考查函數(shù)解析式的確定,考查數(shù)列的通項的猜想與證明,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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