Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²．
（Ⅰ）記m（x）=f′（x），若m′（1）=3，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ已知函數(shù)g（x）=f（x）-ax²+ax，若g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出m（x），計(jì)算m′（1），從而求出a的值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≥-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）成立，求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）m（x）=$\frac{1}{x}$+2ax，m′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a，
則m′（1）=-1+2a=3，解得：a=2；
（Ⅱ）g（x）=lnx+ax²-ax²+ax=lnx+ax，
g′（x）=$\frac{1}{x}$+a，
若g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則g′（x）≥0在（0，+∞）成立，
則a≥-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）成立，
故a≥0．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．