Question

四棱錐P-ABCD中底面ABCD是菱形，PA=PC，AC與BD交于點(diǎn)O．
（1）求證：PB⊥AC；
（2）若平面PAC⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PB=AB=2，求點(diǎn)O到平面PBC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）首先利用四棱錐P-ABCD中底面ABCD是菱形，PA=PC，AC與BD交于點(diǎn)O，得到：OP⊥AC，AC⊥BD
進(jìn)一步得到：AC⊥平面PBD，PB?平面PBD，所以：PB⊥AC
（2）利用（1）的部分結(jié)論：平面PAC⊥平面ABCD，OP⊥平面ABCD，進(jìn)一步求得：OP=

3

  AC=2

3

  AO=CO=

3

，利用V_P-OBC=V_O-PBC，求得：O到平面PBC的距離．

解答：
（1）證明：連結(jié)OP，
因?yàn)樗睦忮FP-ABCD中底面ABCD是菱形，PA=PC，AC與BD交于點(diǎn)O
所以：OP⊥AC，AC⊥BD
AC⊥平面PBD
PB?平面PBD
所以：PB⊥AC
（2）解：平面PAC⊥平面ABCD，
OP⊥平面ABCD
∵∠ABC=60°，PB=AB=2
∴OP=

3

  AC=2

3

  AO=CO=

3

∴進(jìn)一步得到△PBC為等邊三角形
所以：V_P-OBC=V_O-PBC 
設(shè)點(diǎn)O到平面PBC的距離為h
∴

1

3

•

1

2

•1•

3

•

3

=

1

3

•

1

2

•2•2•

3

2

h
h=

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化，線面垂直的判定和性質(zhì)，面面垂直的性質(zhì)，利用幾何體的體積相等等相關(guān)的運(yùn)算問題．