已知函數(shù), .

（1）若, 函數(shù) 在其定義域是增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）在（1）的結論下，設函數(shù)的最小值；

（3）設函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點，過線段的中點作軸的垂線分別交、于點、，問是否存在點，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫坐標；若不存在，請說明理由.

 

【答案】

（1）；（2）當時，的最小值為；當時，的最小值為；當時，的最小值為；（3）不存在點.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、不等式基礎知識，考查函數(shù)思想、構造函數(shù)思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，轉化為恒成立問題，再轉化為求函數(shù)最值問題；第二問，利用配方法求最值，討論對稱軸與區(qū)間端點的大小，本問突出體現(xiàn)了分類討論思想的運用；第三問，把問題坐標化，用反證法證明，利用切線平行，列出方程，構造函數(shù)，判斷單調性求最值，得出矛盾.

試題解析：（1）依題意：在上是增函數(shù)，

對恒成立，        2分

∴

∵,則.

∴的取值范圍為                    4分

（2）設，則函數(shù)化為

∵

∴當，即時，函數(shù)在上為增函數(shù).

當時，；                      6分

當，即時，當時，；

當，即時，函數(shù)在上是減函數(shù).

當時，                        8分

綜上所述，當時，的最小值為.

當時，的最小值為.

當時，的最小值為.               9分

（3）設點的坐標是且則點的橫坐標為

在點處的切線斜率為

在點處的切線斜率為        10分

假設在點處的切線與在點處的切線平行，則

則                       11分

則

設，則  ①                12分

令，則

∵，∴，所以在上單調遞增，

故，則.

這與①矛盾，假設不成立.故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.                                  14分

考點：1.函數(shù)的單調性；2.基本不等式；3.配方法求最值；4.反證法.

 

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1-x2
+
x2-1
的定義域是（　　）
A、[-1，1]
B、{-1，1}
C、（-1，1）
D、（-∞，-1]∪[1，+∞）

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已知函數(shù)f(x)=
(1-b)x+b，x＜0
(b-3)x2+2，x≥0
，在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，則實數(shù)b的范圍為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=1-
a
x
，g(x)=
lnx
x
，且函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+3=0垂直．
（I）求a的值；
（II）如果當x∈（0，1）時，t•g（x）≤f（x）恒成立，求t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=
1
x+1
的定義域為集合A，集合B=（-2，+∞），則集合（CRA）∩B=（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

請考生注意：重點高中學生做（2）（3）．一般高中學生只做（1）（2）．
已知函數(shù)f(x)=(1-a)x-lnx-
a
x
-1(a∈R)
（1）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（2）當a＞0時，討論f（x）的單調性；
（3）當a=
3
4
時，設g（x）=x2-bx+1，若對任意x1∈（0，2]，都存在x2∈（0，2]，都存在x2∈[1，2]使f（x1）≤g（x2），求實數(shù)b的取值范圍．

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