Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax-a²x²（a∈R）．
（I）若x=1是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）由題設(shè)條件，可求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用f′（1）=0建立方程求出a的值；
（II）求導(dǎo)函數(shù)，再進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)大于0，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)小于0，求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：（I）因?yàn)閒（x）=lnx+ax-a²x²其定義域?yàn)椋?，+∞），
所以f′(x)=

1

x

-2a2x+a=

-2a2x2+ax+1

x

=

-(2ax+1)(ax-1)

x

∵x=1是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)
∴f′（1）=0
∴1+a-2a²=0
∴a=-

1

2

或a=1
經(jīng)檢驗(yàn)，a=-

1

2

或a=1時(shí)，x=1是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)
（II）f′(x)=

1

x

-2a2x+a=

-2a2x2+ax+1

x

=

-(2ax+1)(ax-1)

x

若a=0，f′(x)=

1

x

＞0，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）
若a≠0，令f′(x)=

-(2ax+1)(ax-1)

x

=0，∴x1=-

1

2a

，x2=

1

a

當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(0，

1

a

)，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；在區(qū)間(

1

a

，+∞)，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

1

a

)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(

1

a

，+∞)
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(0，-

1

2a

)，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；在區(qū)間(-

1

2a

，+∞)，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，-

1

2a

)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-

1

2a

，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)．