Question

已知x=是的一個極值點．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；
（Ⅲ）設，試問過點（2，5）可作多少條曲線y=g（x）的切線？為什么？

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
f′（x）=2++，∵x=是的一個極值點，
∴f′（）=0，即 2+4b+2=0，得b=-1，當b=-1時，f′（x）=，
當0時，f′（x）＜0；當時，f′（x）＞0，所以x=為f（x）的極小值點，
所以b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=，令f′（x）＞0得x＞，
∴函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為．
（Ⅲ）=2x+lnx，
設切點坐標為（x₀，2x₀+lnx₀），則斜率為2+，切線方程為：y-2x₀-lnx₀=（2+）（x-x₀）．
∴又切線過點（2，5），∴5-2x₀-lnx₀=（2+）（2-x₀），
即，令h（x）=，
則h′（x）==0，得x=2．
h（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增又∵，h（2）=ln2-1＜0，
∴h（x）與x軸有兩個交點，
故過點（2，5）可作2條曲線y=g（x）的切線．
分析：（Ⅰ）解f′（）=0得到b值，再驗證x=為極值點．
（Ⅱ）在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0即可．
（Ⅲ）設切點坐標，表示出切線方程，轉化為方程的解的個數(shù)問題，進一步利用數(shù)形結合即可求得．
點評：本題考查了應用導數(shù)研究函數(shù)的極值、單調性問題，難度稍大，注意本題中數(shù)形結合思想與轉化思想的運用．