Question

【題目】已知函數(shù).

（1）證明：函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的極小值點；

（2）證明：函數(shù)有且僅有兩個零點.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）由導(dǎo)函數(shù)解析式可確定導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增；利用零點存在性定理可知存在唯一使得，由此可確定單調(diào)性，從而得到結(jié)論；

（2）①當(dāng)時，由可知單調(diào)遞減，由此可確定為的一個零點；②當(dāng)時，由零點存在定理和（1）中單調(diào)性，可確定存在唯一的零點；③當(dāng)時，令，由可確定單調(diào)遞增，則，由此可確定，進(jìn)而得到無零點；綜合三種情況可得結(jié)論.

（1）

當(dāng)時，函數(shù)和單調(diào)遞減

函數(shù)單調(diào)遞增

又由，

故存在唯一使得

且當(dāng)時，；當(dāng)時，

當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增

故函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的極小值點

（2）①當(dāng)時，由

又由，，可得，故在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞減

又由，故有

可得此時函數(shù)的零點為

②當(dāng)時，由，

由（1）可知，此時函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點；

③當(dāng)時，令

則，故此時函數(shù)單調(diào)遞增

有

又由，故對，有

所以在區(qū)間上函數(shù)沒有零點

綜上所述，函數(shù)有且僅有兩個零點