Question

給出下列四個(gè)命題：
①已知橢圓

x2

16

+

y2

9

=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上一點(diǎn)，并且|PF₁|=3，則|PF₂|=1；
②雙曲線C：

y2

9

-

x2

16

=1的頂點(diǎn)到漸近線的距離為

12

5

；
③若⊙C₁：x²+y²+2x=0；⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，則這兩圓恰有2條公切線；
④若直線l₁：a²x-y+6=0與直線l₂：4x-（a-3）y+9=0互相垂直，則a=-1
其中正確命題的序號(hào)是

 

．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系及其判定,直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①利用橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a=8，即可判斷①不正確；
②利用雙曲線的定義可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±3）．漸近線方程為：y=±

3

4

x，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可判斷②正確；
③首先將圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系可判斷兩圓相交，從而可判斷兩圓恰有2條公切線；
④根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)可得a²•[-（a-3）]+4×（-1）=0，解方程即可判斷④不正確．

解答： 解：①由橢圓

x2

16

+

y2

9

=1可得，
a=4，b=3．
由橢圓的性質(zhì)可知，
|PF₁|+|PF₂|=2a=8，
若|PF₁|=3，則|PF₂|=5．
故①不正確；
②由雙曲線C：

y2

9

-

x2

16

=1可得，
a=3，b=4．
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±3）．
漸近線方程為：y=±

3

4

x，即3x±4y=0．
∴頂點(diǎn)到漸近線的距離為
d=

|±12|

32+42

=

12

5

．
故②正確．
③⊙C₁：x²+y²+2x=0可化為
（x+1）²+y²=1．
∴圓心C₁（-1，0），半徑r₁=1．
⊙C₂：x²+y²+2y-1=0可化為
x²+（y+1）²=2．
∴圓心C₂（0，-1），半徑r2=

2

．
∴圓心距|C₁C₂|=

2

．
∵

2

-1＜|C₁C₂|=

2

＜

2

+1
∴兩圓相交．
∴兩圓恰有2條公切線．
故③正確．
④∵直線l₁：a²x-y+6=0與直線l₂：4x-（a-3）y+9=0互相垂直，
∴a²•[-（a-3）]+4×（-1）=0．
解得a=-1或a=2．
故④不正確．
∴正確命題的序號(hào)是②③．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、雙曲線的定義及性質(zhì)，兩圓位置關(guān)系的判定以及兩直線垂直的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．