Question

設(shè)無(wú)窮數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為（），且點(diǎn)在直線上（為與無(wú)關(guān)的正實(shí)數(shù)）．
（1）求證：數(shù)列（）為等比數(shù)列；
（2）記數(shù)列的公比為，數(shù)列滿足，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）若（2）中數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和T_n當(dāng)時(shí)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3).

試題分析：(1)把已知條件變形為，要化為數(shù)列項(xiàng)的關(guān)系，一般方法是用代得，兩式相減，得，從而得前后項(xiàng)比為常數(shù)，只是還要注意看看是不是有，如有則可證得為等比數(shù)列；(2)由定義可知數(shù)列是等差數(shù)列，(是數(shù)列公差)，從而數(shù)列也是等差數(shù)列，其前和易得，這說(shuō)明我們?cè)谇髷?shù)列和時(shí)，最好能確定這個(gè)數(shù)列是什么數(shù)列；(3)恒成立，即的最大值，下面我們要求的最大值，由(2) 是關(guān)于的二次函數(shù)，我們只要應(yīng)用二次函數(shù)知識(shí)(配方法)就可求出基最大值了，但要注意是范圍是正整數(shù)．
試題解析：（1）由已知，有，
當(dāng)時(shí)，；         2分
當(dāng)時(shí)，有，
兩式相減，得，即，
綜上，，故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；    4分
（2）由（1）知，，則
于是數(shù)列是公差的等差數(shù)列，即，        7分
則

=        10分
（3）不等式恒成立，即恒成立，又在上遞減，則．         14分
         16分項(xiàng)和與的關(guān)系，等比數(shù)列的定義；(2)等差數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)不等式恒成立與二次函數(shù)在給定范圍內(nèi)的最值．