Question

已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點．
（1）求證：AF∥平面PEC；
（2）求二面角P-EC-D的大�。�

Answer 1

分析：解法一：（1）取PC的中點O，連結(jié)OF、OE，證明AF∥OE，利用線面平行的判定定理，即可證明AF∥平面PEC；
（2）作AM⊥CE，交CE延長線于M，連結(jié)PM，證明∠PMA是二面角P-EC-D的平面角，即可求二面角P-EC-D的大小．
解法二：（1）建立空間直角坐標系，證明

AF

∥

EO

，即可證明AF∥平面PEC；
（2）確定平面PEC、平面ABCD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角P-EC-D的大�。�

解答：解法一：（1）證明：取PC的中點O，連結(jié)OF、OE．
∴FO∥DC，且FO=

1

2

DC，
∴FO∥AE．
又∵E是AB的中點，且AB=DC，
∴FO=AE．
∴四邊形AEOF是平行四邊形，∴AF∥OE．…（5分）
又OE?平面PEC，AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．…（7分）
（2）解：作AM⊥CE，交CE延長線于M，連結(jié)PM．
由三垂線定理，得PM⊥CE．
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．…（11分）
由△AME～△CBE，可得AM=

2

2

．
∴tan∠PMA=

1

2 2

=

2

．
∴二面角P-EC-D的大小為arctan

2

．…（14分）
解法二：以A為原點，如圖建立直角坐標系．則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），F(0，

1

2

，

1

2

)，E（1，0，0），…．（2分）
（1）證明：取PC的中點O，連結(jié)OE．則O(1，

1

2

，

1

2

)．

AF

=(0，

1

2

，

1

2

)，

EO

=(0，

1

2

，

1

2

)，∴

AF

∥

EO

．…（5分）
又OE?平面PEC，AF?平面PEC，∴AF∥平面PEC．…（7分）
（2）解：設平面PEC的法向量為

m

=（x，y，z）．
∵

PE

=(1，0，-1)，

EC

=(1，1，0)．
∴由

m • PE =0 m • EC =0

，可得

x-z=0 x+y=0.

令z=-1，則

m

=（-1，1，-1）．…（11分）
由題意可得平面ABCD的法向量是

PA

=(0，0，-1)．
∴cos＜

m

，

PA

＞=

m • PA

| m || PA |

=

1

3

=

3

3

．
∴二面角P-EC-D的大小為arccos

3

3

．…（14分）

點評：本題考查線面平行，考查面面角，考查傳統(tǒng)方法與向量方法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．