某地區(qū)原森林木材存量為a，且每年增長(zhǎng)率為25%，因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的木材量為b，設(shè)an為n年后該地區(qū)森林木材存量
（1）計(jì)算a1，a2，a3的值；
（2）由（1）的結(jié)果，推測(cè)an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論；
（3）為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材存量應(yīng)不少于
7
9
a，如果b=
19
72
a，那么該地區(qū)今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎？若會(huì)，需要經(jīng)過幾年？（取lg2≈0.30）
分析：（1）依題意，可求得a1=
5
4
a-b，同理可求得a2=(
5
4
)2a-（
5
4
+1）b，a3=(
5
4
)3a-[(
5
4
)2+
5
4
+1]b；
（2）由（1）可推測(cè)an=(
5
4
)na-[(
5
4
)n-1+(
5
4
)n-2+…+
5
4
+1]b=(
5
4
)na-4[(
5
4
)n-1]b（n∈N*），利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（3）依題意知，(
5
4
)na-4[(
5
4
)n-1]×
19
72
a＜
7
9
a⇒(
5
4
)n＞5，兩邊取對(duì)數(shù)即可求得n的近似值．
解答：解：（1）a1=a（1+
1
4
）-b=
5
4
a-b，
a2=
5
4
a1-b=
5
4
（
5
4
a-b）-b=(
5
4
)2a-（
5
4
+1）b，
a3=
5
4
a2-b=(
5
4
)3a-[(
5
4
)2+
5
4
+1]b，
（2）由（1）可推測(cè)
an=(
5
4
)na-[(
5
4
)n-1+(
5
4
)n-2+…+
5
4
+1]b
=(
5
4
)na-4[(
5
4
)n-1]b（n∈N*）．
證明如下：①當(dāng)n=1時(shí)，a1=a（1+
1
4
）-b=
5
4
a-b，已證推測(cè)成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，ak=(
5
4
)ka-4[(
5
4
)k-1]b（k∈N*）成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
ak+1=
5
4
ak-b=
5
4
{(
5
4
)ka-4[(
5
4
)k-1]b}-b
=(
5
4
)k+1a-4[(
5
4
)k+1-1]b，
故當(dāng)n=k+1時(shí)，推測(cè)也成立．
由①②知，對(duì)n∈N*推測(cè)成立．
（3）當(dāng)b=
19
72
a時(shí)，若該地區(qū)今后發(fā)生水土流失，則森林木材存量必須少于
7
9
a，
∴(
5
4
)na-4[(
5
4
)n-1]×
19
72
a＜
7
9
a，
即(
5
4
)n＞5．
兩邊取對(duì)數(shù)得：nlg
5
4
＞lg5，n＞
lg5
lg5-2lg2
=
1-lg2
1-3lg2
≈7，
∴經(jīng)過8年后該地區(qū)就開始水土流失．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和，突出考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于難題．
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