Question

私家車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一，因此在生活中我們應(yīng)該提倡低碳生活，少開私家車，盡量選擇綠色出行方式，為預(yù)防霧霾出一份力．為此，很多城市實(shí)施了機(jī)動(dòng)車車尾號(hào)限行，我市某報(bào)社為了解市區(qū)公眾對(duì)“車輛限行”的態(tài)度，隨機(jī)抽查了50人，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表：

年齡（歲）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75]
頻數(shù)	5	10	15	10	5	5
贊成人數(shù)	4	6	9	6	3	4

（Ⅰ）完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖；
（Ⅱ）若從年齡在[15，25），[25，35）的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查，求恰有2人不贊成的概率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，再記選中的4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由已知求出各組的頻率和縱坐標(biāo)，由此能作出被調(diào)查人員的頻率分布直方圖．
（Ⅱ）由表知年齡在[15，25）內(nèi)的有5人，不贊成的有1人，年齡在[25，35）內(nèi)的有10人，不贊成的有4人，由此利用互斥事件概率計(jì)算公式能求出恰有2人不贊成的概率．
（Ⅲ）ξ的所有可能取值為：0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得各組的頻率分別是：
0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，
∴圖中各組的縱坐標(biāo)分別是：
0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，
由此能作出被調(diào)查人員的頻率分布直方圖，如右圖：
（Ⅱ）由表知年齡在[15，25）內(nèi)的有5人，
不贊成的有1人，
年齡在[25，35）內(nèi)的有10人，不贊成的有4人，
∴恰有2人不贊成的概率為：
P（ξ=2）=

C 1 4

C 2 5

•

C 1 4 • C 1 6

C 2 10

+

C 2 4

C 2 5

•

C 2 4

C 2 10

=

22

75

．…（7分）
（Ⅲ）ξ的所有可能取值為：0，1，2，3，…（6分）
P（ξ=0）=

C 2 4

C 2 5

•

C 2 6

C 2 10

=

15

75

，
P（ξ=1）=

C 1 4

C 2 5

•

C 2 6

C 2 10

+

C 2 4

C 2 5

•

C 1 4 • C 1 6

C 2 10

=

34

75

，
P（ξ=3）=

C 1 4

C 2 5

•

C 2 4

C 2 10

=

4

75

，
所以ξ的分布列是：…（10分）

ξ	0	1	2	3
P	15 75	34 75	22 75	4 75

所以ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=

6

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分布直方圖的作法，考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．