Question

用平行于四面體ABCD的一組對棱AC和BD的平面截此四面體，得一四邊形MNPQ，如圖所示．

(1)求證：MNPQ是平行四邊形．

(2)若AC＝BD，能截得菱形嗎，如何截？

(3)在什么情況下，可以截得一個矩形？

(4)在什么情況下，能截得一個正方形呢，如何截？

(5)若AC＝BD＝a，求證：平行四邊形MNPQ的周長一定．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：本題以線面、面面的平行為載體，來解決相關(guān)的問題．對于(1)可用兩組對邊分別平行來證明MNPQ是平行四邊形；再由比例的性質(zhì)證得結(jié)論(2)；當(dāng)對棱垂直時，由空間等角的關(guān)系，可見四邊形MNPQ的一個角是直角，從而得到結(jié)(3)；對于結(jié)論(4)，只要滿足既是菱形又是矩形的要求即可；對于第(5)問，只要注意△AMQ∽△ABD，就可把平行四邊形MNPQ的周長表示出來，從而確定它是否是與a有關(guān)的定值．

提示：

本小題是一道典型的發(fā)散性思維題，其中綜合了幾何中的多個知識點(diǎn)，特別是線面平行和線線平行．正確理解相關(guān)平面圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵．通過引入了參數(shù)m、n、x、y，可建立相關(guān)量間的關(guān)系式，消去參數(shù)后即得所求結(jié)果．