Question

對于函數(shù)f（x）=x|x|+px+q，現(xiàn)給出四個命題：
①q=0時，f（x）為奇函數(shù)
②y=f（x）的圖象關(guān)于（0，q）對稱
③p=0，q＞0時，方程f（x）=0有且只有一個實數(shù)根
④方程f（x）=0至多有兩個實數(shù)根
其中正確命題的序號為________．

Answer 1

①②③
分析：①若f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px為奇函數(shù)；
②y=x|x|+px為奇函數(shù)，圖象關(guān)于（0，0）對稱，再利用圖象變換可得結(jié)論；
③當(dāng)p=0，q＞0時，x＞0時，方程f（x）=0的無解，x＜0時，f（x）=0的解為x=；
④q=0，p=1時，方程f（x）=0的解為x=0或x=1或x=-1，即方程f（x）=0有3個實數(shù)根．
解答：①若f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px為奇函數(shù)，所以①正確．
②y=x|x|+px為奇函數(shù)，圖象關(guān)于（0，0）對稱，把y=x|x|+px圖象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q圖象，即得f（x）的圖象關(guān)于點（0，q）對稱，所以②正確．
③當(dāng)p=0，q＞0時，x＞0時，方程f（x）=0的無解，x＜0時，f（x）=0的解為x=-（舍去正根），故③正確．
④q=0，p=1時，方程f（x）=0的解為x=0或x=1或x=-1，即方程f（x）=0有3個實數(shù)根，故④不正確．
故答案為：①②③
點評：本題考查命題的真假判斷和應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．