Question

設(shè)定函數(shù)f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d（a＞0），且方程f′（x）-9x=0的兩個(gè)根分別為1，4．
（Ⅰ）當(dāng)a=3且曲線y=f（x）過原點(diǎn)時(shí)，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）無極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后代入f′（x）-9x=0中，再由方程有兩根1、4可得兩等式；
（1）將a的值代入即可求出b，c的值，再由f（0）=0可求d的值，進(jìn)而確定函數(shù)解析式．
（2）f（x）在（-∞，+∞）無極值點(diǎn)即函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，且可判斷是單調(diào)增函數(shù)，再由導(dǎo)函數(shù)大于等于0在R上恒成立可解．

解答：解：由得f′（x）=ax²+2bx+c
因?yàn)閒′（x）-9x=ax²+2bx+c-9x=0的兩個(gè)根分別為1，4，所以

a+2b+c-9=0 16a+8b+c-36=0

（*）
（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，又由（*）式得

2b+c-6=0 8b+c+12=0

解得b=-3，c=12
又因?yàn)榍�線y=f（x）過原點(diǎn)，所以d=0
故f（x）=x³-3x²+12x
（Ⅱ）由于a＞0，所以“f(x)=

a

3

x3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）內(nèi)無極值點(diǎn)”等價(jià)于“f′（x）=ax²+2bx+c≥0在（-∞，+∞）內(nèi)恒成立”．
由（*）式得2b=9-5a，c=4a．
又△=（2b）²-4ac=9（a-1）（a-9）
解

a＞0 △=9(a-1)(a-9)≤0

得a∈[1，9]
即a的取值范圍[1，9]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．屬基礎(chǔ)題．