Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若對任意x∈（0，+∞），都有f（x）＜2成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，可得x=1處切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程；
（Ⅱ）求出f（x）的導數(shù)，討論當a≥0時，當a＜0時，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意定義域；
（Ⅲ）由題意可得ax+lnx＜2，即為a＜$\frac{2-lnx}{x}$的最小值，令g（x）=$\frac{2-lnx}{x}$，求出導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極小值也為最小值，即可得到a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）若a=2，則f（x）=2x+lnx的導數(shù)為f′（x）=2+$\frac{1}{x}$，
可得曲線y=f（x）在x=1處的切線斜率為3，
切點為（1，2），可得曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y-2=3（x-1），
即為3x-y-1=0；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=ax+lnx的導數(shù)為f′（x）=a+$\frac{1}{x}$=$\frac{ax+1}{x}$，x＞0．
當a≥0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增；
當a＜0時，由f′（x）＜0，可得x＞-$\frac{1}{a}$；由f′（x）＞0，可得0＜x＜-$\frac{1}{a}$．
綜上可得，當a≥0時，f（x）有增區(qū)間（0，+∞）；
當a＜0時，f（x）的增區(qū)間為（0，-$\frac{1}{a}$），減區(qū)間為（-$\frac{1}{a}$，+∞）；
（Ⅲ）若對任意x∈（0，+∞），都有f（x）＜2成立，
即有ax+lnx＜2，即為a＜$\frac{2-lnx}{x}$的最小值，
令g（x）=$\frac{2-lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{lnx-3}{{x}^{2}}$，
當x＞e³時，g′（x）＞0，g（x）遞增；當0＜x＜e³時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
可得g（x）在x=e³處取得極小值，且為最小值-$\frac{1}{{e}^{3}}$．
可得a＜-$\frac{1}{{e}^{3}}$．
則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{{e}^{3}}$）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法，考查分類討論的思想方法和運算能力，屬于中檔題．