Question

在曲線y=x²(x≥0)上某一點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍的面積為.試求:
(1)切點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)過切點(diǎn)A的切線方程.

Answer 1

如圖,設(shè)切點(diǎn)A(x₀,y₀),由y′=2x,得過A點(diǎn)的切線方程為y-y₀=2x₀(x-x₀),即y=2x₀x-x₀².
令y=0,得x=,即C(,0).
設(shè)由曲線和過A點(diǎn)的切線及x軸所圍成圖形的面積為S,
S=S_曲邊△AOB-S_△ABC,S_曲邊△AOB
==x³=x₀³,
S_△ABC=|BC|·|AB|=(x₀-)·x₀²=x₀³,
即S=x₀³-x₀³=x₀³=.
所以x₀=1,從而切點(diǎn)為A(1,1),切線方程為y=2x-1.

設(shè)出切點(diǎn)A的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,寫出切線方程,然后利用定積分求出所圍成平面圖形的面積,從而確定切點(diǎn)A的坐標(biāo),使問題得以解決.