Question

如圖所示是曾經(jīng)在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，它是由4個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中較小的銳角為θ，大正方形的面積是1，小正方形的面積是

1

25

，則sinθ+cosθ的值等于

7

5

．

Answer 1

分析：設(shè)較大的銳角∠ABF為θ，根據(jù)大正方形的面積求出邊長(zhǎng)AB，由小正方形的面積求出邊長(zhǎng)EF，在直角三角形ABF中，根據(jù)銳角三角形函數(shù)定義表示出AF和FB，由大正方形面積減去小正方形得到四個(gè)直角三角形的面積，即可求出直角三角形ABF的面積，而三角形ABF的面積可以用直角邊AF和FB乘積的一半來(lái)求出，兩種方法求出的面積相等，列出關(guān)系式，求出sinθcosθ，利用平方關(guān)系式，求出sinθ+cosθ的值

解答：解：如圖，由已知得：∠ABF=θ，(

π

4

＜θ＜

π

2

)，AB=1，EF=

1

5

，
∴AF=AB•sinθ=sinθ，BF=AB•cosθ=cosθ，
∵S_△ABF=

1

4

（S_{正方形ABCD}-S_{正方形EFGH}）=

1

4

（1-

1

25

）=

6

25

，
且S_△ABF=

1

2

AF•BF=

1

2

sinθcosθ，
∴

1

2

sinθcosθ=

6

25

，
2sinθcosθ=

24

25

．
（sinθ+cosθ）²=

49

25

，
sinθ+cosθ=

7

5

．
故答案為：

7

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了銳角函數(shù)定義，三角形的面積公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，本題的思路為：借助圖形，根據(jù)題意得出直角三角形ABF的面積，進(jìn)而得到sinθcosθ的值是解題的關(guān)鍵．