Question

（2012•樂山二模）已知A．B．C是平面上不共線的三點，O為△ABC的外心，動點P滿足

OP

=

[(1-λ) OA +(1-λ) OB +(1+2λ) OC ]

3

（λ∈R），則P的軌跡一定過△ABC的（　�。�

A．內心

B．垂心

C．重心

D．AC邊的中點

Answer 1

分析：根據(jù)向量的加法的平行四邊形法則向量的運算法則，對

OP

=

1

3

[(1-λ)

OA

+(1-λ)

OB

+(1+2λ)

OC

]進行化簡，得到

2(1-λ)

3

OD

+

1+2λ

3

OC

，根據(jù)三點共線的充要條件知道P、C、D三點共線，從而得到點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．

解答：解：取AB的中點D，則 2

OD

=

OA

+

OB

∵

OP

=

1

3

[(1-λ)

OA

+(1-λ)

OB

+(1+2λ)

OC

]
∴

OP

=

1

3

[(1-λ)(2

OD

)+(1+2λ)

OC

]
=

2(1-λ)

3

OD

+

1+2λ

3

OC

，
而

2(1-λ)

3

+

1+2λ

3

=1，
∴P、C、D三點共線，
∴點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．
故選C．

點評：本小題主要考查向量的加法法則和運算法則、三點共線的充要條件的應用、三角形五心等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思與轉化思想．屬于基礎題．